Breve Historia de las Curvas

El Culpable

Fueron los griegos, con Euclides a la cabeza, los primeros en sistematizar el estudio de la geometría.
Este buen hombre dedujo, es decir, justifico mediante pasos lógicos, todas las leyes geométricas conocidas hasta entonces partiendo de tres elementos (el punto, la recta y el plano) y de cinco verdades (llamadas axiomas), que son:
a1) Por dos puntos se puede trazar una única recta que los une.
a2) Todo segmento puede ser prolongado en forma continua en una recta ilimitada en la misma dirección.
a3) Se puede trazar una circunferencia que tenga su centro en cualquier punto y con cualquier radio.
a4) Todos los ángulos rectos son iguales.
a5) Por un punto, exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a esta.

Claro está, entonces, que las rectas y las circunferencias juegan en la geometría un papel preponderante; pero ellas son sólo los primeros ejemplares de una familia bastante extensa… la familia de las curvas. Esta familia consta de conjuntos infinitos de puntos que, al decir del propio Euclides, “tienen largo, pero no ancho”; eh incluye a Parábolas, Hipérbolas, etc.

En un primer momento pretendieron construir todas las curvas utilizando únicamente la regla y el compás, bueno en realidad hacían toda suerte de artilugios para reemplazarlos solo con cuerdas, pues no existían las reglas y los compases… Pero siempre hay alguien que complica un poco más la historia ¡¿Acaso tendríamos historia si la cosa no fuese así?!

Complicador número uno

En nuestro caso el encargado de derrumbar la idea de la regla y el compás como generadores de todas las curvas parece ser Hipias, de la ciudad de Elis; quien construyó una curva llamada “cuadratriz” para responder a la pregunta de cuánto debe medir el lado de un cuadrado que tenga igual área a un círculo del que conozco el radio (un problema muy popular, incluso hasta unos cuantos siglos más tarde).
Y detrás de Hipias vinieron unos cuantos más, cada uno con su curva, y así aparecieron la cicloide (tiene nombre de mito griego, pero es muy real), la espiral y otras. Pero, ¿qué tienen en común todas ellas? Que a sus autores parecía preocuparles poco el problema de construirlas con regla y compás; y más bien parecían preocuparse por otros problemas, tanto de la matemática como de la ingeniería.

Así, las curvas, quedaron divididas durante mucho tiempo en las llamadas curvas Geométricas (las primeras, con su derecho “natural” a pertenecer a la geometría) y las Mecánicas (esas cosas raras, que venían de otros campos y problemas).

El estudio de las curvas continúa a lo largo de la historia, hasta que hoy son llamadas curvas Algebraicas para las primeras (porque es posible describirlas mediante ecuaciones) y Trascendentes a las segundas.

Complicador número dos

Pero claro está que la historia siempre se complica, y el próximo “complicador” profesional es reciente, Benoit Mandelbrot. Sistematizó, en una tarea similar a la de Euclides veintitrés siglos antes, una serie de curvas aun más “raras” que las anteriores. Aunque más propio sería decir que recolecto y dio forma, porque la forma en que se movió no fue idéntica a la de Euclides.

Pero, ¿qué quiere decir curvas raras en este caso? Que las curvas de Mandelbrot tienen características impensadas en todas las antes vistas. Solo como un ejemplo tenemos la llamada curva de Koch, ella se obtiene de repetir infinitamente dos reglas sencillas; pero el resultado es una curva que en cada uno de sus puntos hay una “punta”, similar a la “punta” inferior de la V.

Lo peor (o, si se quiere, lo mejor) es que esta curva viene a ser para los fractales algo así como la recta para las curvas Algebraicas. ¿Te imaginás como serán las que vienen atrás?

Aquí destacamos a algunos matemáticos que estudiaron curvas, pero fuimos muy injustos con otros (muuuchos otros) que también portaron lo suyo. Si te interesa seguí investigando que vas a encontrar muy buena información al respecto. Pero queda una duda ¿Quién será el complicador número tres?...